πρόοδος

Με αυτόν τον όρο χαρακτηρίζονται 3 ειδικές ακολουθίες πραγματικών ή –γενικότερα– μιγαδικών αριθμών· οι ακολουθίες αυτές φέρουν τις ονομασίες: αριθμητική π., γεωμετρική π., αρμονική π. Έστω (α): α₁, α₂,..., α_ν... μία ακολουθία μιγαδικών, γενικά, αριθμών. 1) η (α) ονομάζεται αριθμητική π., όταν, και μόνον όταν, υπάρχει αριθμός λ, τέτοιος ώστε ο κάθε όρος της από τον δεύτερο και πέρα να είναι το άθροισμα του προηγούμενού του όρου συν λ, δηλ. να είναι: α_ν+1 = λ + α_ν για κάθε δείκτη ν = 1,2, ... Ο λ ονομάζεται: ο λόγος (η διαφορά) της αριθμητικής προόδου· 2) η (α) ονομάζεται γεωμετρική π., όταν, και μόνον όταν, υπάρχει αριθμός λ, τέτοιος ώστε ο κάθε όρος της από τον δεύτερο και πέρα να είναι το γινόμενο του προηγούμενού του επί λ, δηλ. να είναι: α_ν+1 = λα_ν, για κάθε δείκτη ν = 1,2, ... Ο λ ονομάζεται: ο λόγος της γεωμετρικής προόδου· 3) η (α) ονομάζεται αρμονική π., όταν, και μόνον όταν, κάθε όρος της είναι ≠ 0 και οι αντίστροφοι των όρων της ορίζουν αριθμητική π., δηλ. αν η ακολουθία: 1\α₁, 1\α₂, 1\α₃, …, 1\α_ν, είναι αριθμητική πρόοδος. Παραδείγματα: οι ακολουθίες: 1,2,3, ..., ν ... και 1,3,5 ..., 2^ν-1,... είναι αριθμητικές π. Οι ακολουθίες: 1,2,2², ..., 2^ν-1, και 1, 1\ 2, 1\ 2²,…., 1 \ 2 ^{ν –1}, είναι γεωμετρικές π. Οι ακολουθίες: 1\1, 1\2, 1\3,,..., 1\ν, ... και 1\1, 1\3, 1\5, … 1\2^ν-1, είναι αρμονικές πρόοδοι. Σε κάθε αριθμητική π. α) ο νιοστός όρος της δίνεται από τον τύπο: α_ν = α₁ + (ν-1)λ [α₁ = ο πρώτος όρος, λ = ο λόγος]· β) το άθροισμα Σ_ν, των πρώτων όρων της, δίνεται από τον τύπο: Σ_ν =1\2 (α₁ + α_ν)ν· γ) ισχύει ότι: α₁ + α_ν = α₂ + α_ν-1 = α₃ + α_ν-2 = … Σε κάθε γεωμετρική π. α) ο νιοστός όρος της δίνεται από τον τύπο: α_ν = α₁λ^ν-1 [α₁ = ο πρώτος όρος, λ = ο λόγος] (ειδικά εδώ, αν λ = 0, είναι α = α₁ · 0°, όταν ν = 1· επειδή το σύμβολο 0° δεν έχει έννοια, ορίζουμε 0° = 1, ώστε η α₁ = α₁ 0° να σημαίνει α₁ = α₁ δηλαδή ώστε η παράσταση α₁λ^ν-1 να δίνει για ν = 1 τον α, ακόμη και όταν είναι λ = 0, πράγμα μη αποκλειόμενο από τον ορισμό της γεωμ. π.)· β) το άθροισμα Σ_ν, των ν πρώτων όρων, δίνεται από τον τύπο: · γ) ισχύει ότι: α₁,α_ν = α₂ · α^ν-1 = α₃ · α^ν-2 = ... Σε κάθε αρμονική π. ο νιοστός όρος της δίνεται από τον τύπο: 1\ α_ν = 1\α₁ + (ν-1) (1\α₂ – 1\α₁). Έστω τώρα ότι α,β,γ είναι 3 διαδοχικοί όροι μίας π.· τότε: α) αν η π. είναι αριθμητική, ισχύει: 2β = α + γ δηλαδή β = α + γ\2 (ο μεσαίος β είναι ο μέσος αριθμητικός των α,γ)· β) αν η π. είναι γεωμετρική, ισχύει: β² = αγ. Αν, ειδικά, είναι: α > 0, β > 0, γ > 0, τότε είναι: β = √αγ (ο μεσαίος είναι ο μέσος γεωμετρικός των α,γ)· γ) αν η π. είναι αρμονική τότε είναι: 2\ β = 1\α + 1\γ ≠ β α γ τότε ο β ονομάζεται: ο μέσος αρμονικός των α, γ. Με τον όρο π. χαρακτηρίζεται και κάθε ακολουθία, που ο νιοστός όρος της είναι το γινόμενο του νιοστού όρου μιας αριθμ. π. επί τον νιοστό όρο μιας γεωμ. π.· αυτή ονομάζεται: μεικτή (ή αριθμητικογεωμετρική) π. Ιδιαίτερη σημασία έχουν οι γεωμ. π. με λόγο λ, τέτοιον ώστε: - 1 < λ < 1, λ ≠ 0. Μια τέτοια π. είναι: π.χ. η: 1, 1\2, 1\4, …, 1\2^ν-1 … σε αυτήν αντιστοιχεί η σειρά: 1 + 1\2 + 1\2² + ... + 1\2^ν-1 + ..., που (αποδεικνύεται ότι) έχει άθροισμά της τον αριθμό 2. Γενικά η σειρά: α + αλ + αλ² + ... 4 αλ^ν-1 + ... με | λ | < 1 έχει άθροισμα τον αριθμό α\1-λ · αυτός ο αριθμός συνηθίζεται να ονομάζεται: το άθροισμα των άπειρων όρων της γεωμετρικής π.

* * *

(I)

η, ΝΜΑ 1. πορεία προς τα εμπρός

2. προαγωγή, ευδοκίμηση, εξέλιξη προς το καλύτερο, προκοπή, βελτίωση (α. «η πρόοδος τής επιστήμης, και τής τεχνολογίας» β. «ταῑς ἐκ δόξης εἰς δόξαν προόδοις», Γρηγ. Ναζ.

γ. «πρόοδος ἐκ δυνάμεως εἰς ἐνέργειαν», Πλωτίν.)

νεοελλ.

1. (φιλοσ.) κατεύθυνση τού ιστορικού γίγνεσθαι που δηλώνει την ανοδική πορεία τών πραγμάτων, αντικειμένων και συστημάτων και τη μετάβασή τους σε σημεία, καταστάσεις και επίπεδα ποιοτικώς ανώτερα

2. μαθημ. φρ. α) «αριθμητική πρόοδος» — σειρά αριθμών, από τους οποίους ο καθένας προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση τού ίδιου πάντοτε αριθμού, που ονομάζεται λόγος, όπως π.χ. 2, 4, 6, 8, 10...

β) «γεωμετρική πρόοδος» — σειρά αριθμών από τους οποίους ο καθένας προκύπτει από τον προηγούμενο με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε αριθμό, τον λόγο, όπως λ.χ. 2, 4, 8, 16...

γ) «αύξουσα αριθμητική πρόοδος» — αριθμητική πρόοδος τής οποίας οι όροι αυξάνουν, γιατί ο λόγος είναι θετικός αριθμός

δ) «φθίνουσα αριθμητική πρόοδος» — αριθμητική πρόοδος τής οποίας οι όροι μικραίνουν, γιατί ο λόγος είναι αρνητικός αριθμός

ε) «αύξουσα γεωμετρική πρόοδος» — γεωμετρική πρόοδος τής οποίας ο λόγος είναι αριθμός μεγαλύτερος τής μονάδας

στ) «φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος» — γεωμετρική πρόοδος τής οποίας ο λόγος είναι θετικός αριθμός, μικρότερος τής μονάδας

4. (με αρνητ. σημ.) εξέλιξη προς το χειρότερο, επιδείνωση (α. «η πρόοδος τής νόσου συνεχίζεται»)

5. στρ. η προφυλακή

μσν.

1. έξοδος από τον τάφο, ανάσταση

2. έξοδος από τη ζωή, θάνατος

3. εμφάνιση στη ζωή, παρουσία

4. νομική διαδικασία

5. βλαστός, κλάδος

6. είσοδος κτηρίου

μσν.-αρχ.

1. το να βγαίνει κανείς έξω, κυρίως από το σπίτι του, στον δρόμο (α. «πολλοὶ μὲν ἐπὶ τῶν πυλώνων παρειστήκεσαν τὴν πρόοδον αὐτοῡ περιμένοντες», Λουκ.

β. «τὰς προόδους αὐτοῡ καὶ τὰς εἰσόδους καὶ τὸν χαρακτῆρα τοῡ βίου», Ειρην.)

2. δημόσια εμφάνιση, εμφάνιση στο κοινό (α. «τὴν πρόοδον τῶν ἀποστόλων», Ευσ.

β. «ταπεινὸς τὴν γνώμην, εὐτελὴς δὲ τὴν πρόοδον», Λουκ.)

3. πομπή («ἔν τε ταῑς προόδοις... πρᾱον καὶ ἥμερον ἦθος ἐπεδείκνυτο», Ηρωδιαν.)

4. η εκπόρευση, η προέλευση, η πηγή από την οποία προέρχεται κανείς ή κάτι («μίαν φύσιν θεότητος ἀνάρχῳ καὶ γεννήσει καὶ προόδῳ γνωριζομένην», Γρηγ. Ναζ.)

αρχ.

ερώτηση.

[ΕΤΥΜΟΛ. < προ-* + ὁδός (πρβλ. μέθ-οδος, περί-οδος)].

————————

(II)

-ον, ΜΑ

μσν.

το αρσ. ως ουσ. ὁ πρόοδος

ο πρόδρομος

αρχ.

(το αρσ. πληθ. ως ουσ.) οἱ πρόοδοι

οι στρατιώτες που αποτελούσαν την εμπροσθοφυλακή.

[ΕΤΥΜΟΛ. < προ-* + ὁδός].